Giải bài 5 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn:

Sử dụng quy tắc I, tìm các điểm cực đại và cực tiếu của hàm số. Sau đó giải phương trình $y_{CT}>0$ ( vì $y_{CT}>0$ thì $y_{CĐ}>0$).

Tập xác định: $D=ℝ$$.$

* Với $a=0$ thì hàm số $y=-9x+b$ không có cực trị.

* Với $a≠0$, ta có: 

$y'=5a^2x^2+4ax-9,\,y'=0⇔5a^2x^2+4ax-9=0⇔\left[ \begin{align} & x=-\dfrac{9}{5a} \\ & x=\dfrac{1}{a} \\ \end{align} \right.$

+) Với $a<0$ ta có bảng biến thiên

Vì $x_0=\dfrac{-5}{9}$ là điểm cực đại nên $\dfrac{1}{a}=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow a=-\dfrac{9}{5}$

Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương.

${{y}_{CT}}=y\left( -\dfrac{9}{5a} \right)=y\left( 1 \right)=\dfrac{5{{a}^{2}}}{3}+2a-9+b=-\dfrac{36}{5}+b>0\Leftrightarrow b>\dfrac{36}{5}$

+) Với $a>0$ ta có bảng biến thiên

Vì $x_0=\dfrac{-5}{9}$ là điểm cực đại nên $-\dfrac{9}{5a}=-\dfrac{5}{9}\Leftrightarrow a=\dfrac{81}{25}$

Vì các cực trị của hàm số đều dương nên giá trị cực tiểu là số dương thì giá trị cực đại cũng là số dương.

${{y}_{CT}}=y\left( \dfrac{1}{a} \right)=\dfrac{5}{3a}+\dfrac{2}{a}-\dfrac{9}{a}+b>0\Leftrightarrow b>\dfrac{400}{243}$

Vậy $\left\{ \begin{align} & a=-\dfrac{9}{5} \\ & b>\dfrac{36}{5} \\ \end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align} & a=\dfrac{81}{25} \\ & b>\dfrac{400}{243} \\ \end{align} \right.$ thì các cực trị của hàm số đều là những số dương và $x_0=\dfrac{-5}{9}$ là điểm cực đại.

Ghi nhớ: Quy tắc xét tìm cực trị: Quy tắc I.
1. Tìm tập xác định
2.Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên.
4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.