Giải bài 2 trang 30 – SGK môn Giải tích lớp 12

$a) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash dfrac\{2-x\}\{9-\{\{x\}^\{2\}\}\}\$</span>;$

Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{\dfrac{2}{{{x}^{2}}}-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{9}{{{x}^{2}}}-1}=0$ nên đường thẳng $y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{3}^{+}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{3}^{-}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=-\infty$ nên đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{\left( -3 \right)}^{+}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -3 \right)}^{-}}}\,\dfrac{2-x}{9-{{x}^{2}}}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$b) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash dfrac\{\{\{x\}^\{2\}\}+x+1\}\{3-2x-5\{\{x\}^\{2\}\}\}\$</span>;$

Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{{{x}^{2}}}}{\dfrac{3}{{{x}^{2}}}-\dfrac{2}{x}-5}=\dfrac{-1}{5}$ nên đường thẳng $y=\dfrac{-1}{5}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{3}{5} \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=+\infty$ nên đường thẳng $x=\dfrac{3}{5}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}+x+1}{3-2x-5{{x}^{2}}}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$c) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash dfrac\{\{\{x\}^\{2\}\}-3x+2\}\{x+1\}\$</span>;$

Vì $\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{{{x}^{2}}-3x+2}{x+1}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$d) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{x\}+1\}\{\backslash sqrt\{x\}-1\}\$</span>.$

Vì $\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{x}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=1$ nên đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=-\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ghi nhớ: 

Đường thẳng $y=y_o$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

                                                                     $\lim\limits_{x\to + \infty }\,f(x)=y_o,\lim\limits_{x\to - \infty }\,f(x)=y_o$

Đường thẳng $x=x_o$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

                                                                      $\lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=-\infty\\ \lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=+\infty$