Giải bài 1 trang 30 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn: Đường thẳng $y=y_o$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

                                                                     $\lim\limits_{x\to + \infty }\,f(x)=y_o,\lim\limits_{x\to - \infty }\,f(x)=y_o$

                    Đường thẳng $x=x_o$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

                                                                      $\lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=+\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=-\infty\\ \lim\limits_{x\to x_o^+}\,f(x)=-\infty,\lim\limits_{x\to x_o^-}\,f(x)=+\infty$

$a)$$y=\dfrac{x}{2-x}$

Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x}{2-x}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1}{\dfrac{2}{x}-1}=-1$ nên đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{x}{2-x}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\dfrac{x}{2-x}=+\infty$ nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$b) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash dfrac\{-x+7\}\{x+1\}\$</span>$

Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{-x+7}{x+1}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{-1+\dfrac{7}{x}}{1+\dfrac{1}{x}}=-1$ nên đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{\left(-1 \right)}^{+}}}\,\dfrac{-x+7}{x+1}=+\infty;\, \lim\limits_{x\to {{\left( -1 \right)}^{-}}}\,\dfrac{-x+7}{x+1}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$c) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash dfrac\{2x-5\}\{5x-2\}\$</span>$

Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2x-5}{5x-2}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2+\dfrac{5}{x}}{5-\dfrac{2}{x}}=\dfrac{2}{5}$ nên đường thẳng $y=\dfrac{2}{5}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì $\lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{+}}}\,\dfrac{2x-5}{5x-2}=-\infty;\, \lim\limits_{x\to {{\left( \dfrac{2}{5} \right)}^{-}}}\,\dfrac{2x-5}{5x-2}=+\infty$  nên đường thẳng $x=\dfrac{2}{5}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$d) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash dfrac\{7\}\{x\}-1\$</span>.$

Vì $\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( \dfrac{7}{x}-1 \right)=-1$ nên đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\frac{Vì <span\; class="math-tex">\$\backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\; \{\{\backslash left(\; 0\; \backslash right)\}^\{+\}\}\}\backslash ,\backslash left(\; \backslash dfrac\{7\}\{x\}-1\; \backslash right)=+\backslash infty;\backslash ,\; \backslash lim\backslash limits\_\{x\backslash to\; \{\{\backslash left(\; 0\; \backslash right)\}^\{-\}\}\}\backslash ,\backslash left(\; \backslash dfrac\{7\}\{x\}-1\; \backslash right)=-\backslash infty\$</span> nên\; đường\; thẳng <span\; class="math-tex">\$x=0\$</span> là\; tiệm\; cận\; đứng của\; đồ\; thị\; hàm\; số.}{}$