Giải bài 1 trang 100 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn: 

Hàm số f(x) được gọi là nguyên hàm của hàm g(x) nếu $f'(x) = g(x).$

a) ${{e}^{-x}}$ và $-{{e}^{-x}};$       

Ta có: $\left( {{e}^{-x}} \right)'=-{{e}^{-x}}$         

Vậy   ${{e}^{-x}}$ là nguyên hàm của  $-{{e}^{-x}}.$  

b)  $\sin 2x$ và ${{\sin }^{2}}x;$     

Ta có: 

$\left( \sin 2x \right)'=2\cos 2x \\ \left( {{\sin }^{2}}x \right)'=2\sin x.\left( \sin x \right)'=2\sin x\cos x=\sin 2x$

Vậy $\sin^2x$ là nguyên hàm của $\sin 2x$.

c)  ${{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}}$ và $\left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}}$.  

Ta có:

$\begin{aligned} \left[ {{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}} \right]'&=2\left( 1-\dfrac{2}{x} \right).\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)'.{{e}^{x}}+\left( 1-\dfrac{2}{x} \right){{e}^{x}} \\ &=2\left( 1-\dfrac{2}{x} \right).\dfrac{2}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}+\left( 1-\dfrac{2}{x} \right).{{e}^{x}} \\ & =\left( \dfrac{4}{{{x}^{2}}}-\dfrac{8}{{{x}^{3}}}-\dfrac{2}{x}+1 \right){{e}^{x}} \\ & ={{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{3}}{{e}^{x}} \\ \end{aligned} \\ \begin{align} \left[ \left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}} \right]'&=\dfrac{4}{{{x}^{2}}}{{e}^{x}}+\left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}} \\ & =\left( \dfrac{4}{{{x}^{2}}}-\dfrac{4}{x}+1 \right){{e}^{x}} \\ & ={{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}} \end{align}$

Vậy $\left( 1-\dfrac{4}{x} \right){{e}^{x}}$ là nguyên hàm của ${{\left( 1-\dfrac{2}{x} \right)}^{2}}{{e}^{x}}$.