Giải bài 8 trang 46 – SGK môn Giải tích lớp 12

Gợi ý:

a) Hàm số đồng biến trên tập xác định khi$f'(x)$ có: $\left\{ \begin{aligned} & a>0 \\ & \Delta '\le 0 \\ \end{aligned} \right.$

b) Hàm số có một cực đại cực tiểu khi phương trình $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right)$

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow f'\left( x \right)\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a>0 \\ & \Delta '\le 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 3>0\,(đúng) \\ & 9{{m}^{2}}-18m+9=9{{\left( m-1 \right)}^{2}}\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m-1=0\Leftrightarrow m=1$

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow \Delta=9{{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Leftrightarrow m\ne 1$

c) Ta có

$f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( 2m-1 \right) \\ \Rightarrow f''\left( x \right)=6x-6m \\ f''\left( x \right)>6x\Leftrightarrow 6x-6m>6x\Leftrightarrow -6m>0\Leftrightarrow m<0$