Giải bài 79 trang 63 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Bảng biến thiên:

Đồ thị

b)

Tiệm cận đứng $x=0$; Tiệm cận xiên $y=x$

Ta có $f'(x)=1-\dfrac 1 {x^2}$.

Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm M là $y=\left(1-\dfrac 1 {x^2_0}\right)(x-x_0)+x_0+\dfrac 1 {x_0}$

Thay x =0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A là $A\left(0;\dfrac 2 {x_0}\right)$

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình 

$\left(1-\dfrac 1 {x^2_0}\right)(x-x_0)+x_0+\dfrac 1 {x_0}=x\Leftrightarrow -\dfrac{x}{x^2_0}+\dfrac 2{x_0}=0\Leftrightarrow x=2x_0\\ x_B=2x_0=y_B\\ \Rightarrow B(2x_0;2x_0)$

Ta có: $x_M=x_0=\dfrac{0+2x_0} 2=\dfrac{x_A+x_B} 2$

Vì ba điểm A, B, M thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Diện tích tam giác OAB là

$S=\dfrac 1 2 |y_A|.|y_B|=\dfrac 1 2.\left|\dfrac 2 {x_0}\right|.|2x_0|=2\forall x_0 \ne 0$