Giải bài 77 trang 63 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Giới hạn:

Vậy $y = \dfrac 1 2$ là tiệm cận ngang

Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng

Biến thiên:

Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$

Đồ thị:

Hàm số giao Ox tại (4;0) và giao Oy tại (0;2)

b)

Gọi điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua. Ta có:

$\begin{aligned} & {{y}_{0}}=\dfrac{{{x}_{0}}-4m}{2\left( m{{x}_{0}}-1 \right)}\,\,\,\,\left( \text{Điều kiện}\,mx_0\ne 1 \right) \\ & \Rightarrow 2{{y}_{0}}\left( m{{x}_{0}}-1 \right)={{x}_{0}}-4m \\ & \Leftrightarrow 2{{y}_{0}}{{x}_{0}}m-2{{y}_{0}}-{{x}_{0}}+4m=0 \\ & \Leftrightarrow m\left( 2{{y}_{0}}{{x}_{0}}+4 \right)-2{{y}_{0}}-{{x}_{0}}=0 \\ \end{aligned}$

Phương trình có nghiệm đúng với mọi $m\ne \pm \dfrac{1}{2}$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

$\left\{ \begin{aligned} & 2{{x}_{0}}{{y}_{0}}+4=0 \\ & {{x}_{0}}+2{{y}_{0}}=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{0}}=-2{{y}_{0}} \\ & -4{{y}_{0}}.{{y}_{0}}+4=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & {{y}_{0}}=1 \\ & {{x}_{0}}=-2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & {{y}_{0}}=-1 \\ & {{x}_{0}}=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \right.$

Vậy $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in \left\{ \left( 2;-1 \right);\left( -2;1 \right) \right\}$

Khi đó, ta có: $m{{x}_{0}}-1\ne 0$

Vậy đường cong ($H_m$)  với $m\ne \pm \dfrac{1}{2}$ đều đi qua hai điểm cố định $A(2;-1)$ và $B(-2;1)$

c)

Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại A là $y'\left( 2 \right),$ tại B là $y'\left( -2 \right)$

Ta có:

Vậy tích các hệ số góc của các tiếp tuyến với ($H_m$) tại hai điểm A và B là một hằng số khi m biến thiên