Giải bài 66 trang 58 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Đặt: $f\left( x \right)=y=2{{x}^{2}}+ax+b$; $g\left( x \right)=y=\dfrac{1}{x}$

$f'(x)=4x+a;\,\,g'(x)=-\dfrac 1{x^2}$

Parabol $f\left( x \right)=y=2{{x}^{2}}+ax+b$ tiếp xúc với $g\left( x \right)=y=\dfrac{1}{x}$ tại $M\left( \dfrac{1}{2};2 \right)$ khi:

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & f\left( \dfrac{1}{2} \right)=g\left( \dfrac{1}{2} \right)=2 \\ & f'\left( \dfrac{1}{2} \right)=g'\left( \dfrac{1}{2} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2}+\dfrac{a}{2}+b=2 \\ & 4.\dfrac{1}{2}+a=-\dfrac{1}{{{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{2}}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a+2b=3 \\ & a+2=-4 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=-6 \\ & b=\dfrac{9}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Ghi nhớ:

Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ và $y=g(x)$ tiếp xúc với nhau tại tiếp điểm có hoành độ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{aligned} & f(x)=g(x) \\ & f'(x)=g'(x) \\ \end{aligned} \right.$