Giải bài 65 trang 58 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

$\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,=-\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty$  nên $x=1$ là tiệm cận đứng

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-2x-1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2}{x-1}=0$ nên $y=2x+1$ là tiệm cận xiên

$\begin{aligned} & y'=2-\dfrac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\dfrac{2\left[ {{\left( x-1 \right)}^{2}}-1 \right]}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-1=1 \\ & x-1=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$

Hàm số đạt cực đại tại $(0;-1)$ và cực tiểu tại $(2;7)$

Đồ thị:

Hàm số đi qua điểm $(0;-1)$ và $(2;7)$

Hàm số nhận $I(1;3)$ là tâm đối xứng

b)

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\begin{align} & \dfrac{2{{x}^{2}}-x+1}{x-1}=m-x \\ & \Rightarrow 2{{x}^{2}}-x+1=\left( m-x \right)\left( x-1 \right) \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-x+1=mx-m-{{x}^{2}}+x \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+1+m=0\,\,\left( * \right) \\ \end{align}$

Để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác $-1$ tức là:

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}-12\left( 1+m \right)>0 \\ & 3{{\left( -1 \right)}^{2}}-\left( m+2 \right)\left( -1 \right)+1+m\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{m}^{2}}-8m-8>0 \\ & 6\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<4-2\sqrt{6} \\ & m>4+2\sqrt{6} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

c)

Gọi $A\left( {{x}_{A}};{{y}_{A}} \right);\,B\left( {{x}_{B}};{{y}_{B}} \right)$ có $\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{m+2}{6}$

Ta có: trung điểm M của AB có tọa độ $M\left( {{x}_{M}};{{y}_{M}} \right)$  với ${{x}_{M}}=\dfrac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\dfrac{m+2}{6}$

Vì M thuộc đường thẳng $y=m-x$ nên ta có:

Ta có:

$\left\{ \begin{align} & {{x}_{M}}=\dfrac{m+2}{6} \\ & {{y}_{M}}=\dfrac{5m-2}{6} \\ \end{align} \right.\Rightarrow 5{{x}_{M}}-{{y}_{M}}=2\Leftrightarrow {{y}_{M}}=5{{x}_{M}}-2$

Vậy M luôn thuộc đường thẳng $y=5x-$2

Mặt khác ta có:

$\begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & m<4-2\sqrt{6} \\ & m>4+2\sqrt{6} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 6{{x}_{M}}-2<4-2\sqrt{6} \\ & 6{{x}_{M}}-2>4+2\sqrt{6} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{x}_{M}}<1-\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ & {{x}_{M}}>1+\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy tập hợp các trung điểm AB là phần của đường thẳng $y=5x-2$ với $\left[ \begin{align} & {{x}_{M}}<1-\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ & {{x}_{M}}>1+\dfrac{\sqrt{6}}{3} \\ \end{align} \right.$