Giải bài 63 trang 57 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-\dfrac 1 2 \right)$  và $\left( -\dfrac 1 2;\infty \right)$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Hàm số giao Ox tại điểm $\left( -2;0 \right)$ và giao Oy tại điểm $\left( 0;2 \right)$

Hàm số nhận điểm $I\left( -\dfrac 1 2;\dfrac 1 2 \right)$  là tâm đối xứng

b)

Ta có: $y=mx+m-1\Leftrightarrow y+1=m(x+1)$

Tọa độ điểm A cố định mà đường thẳng luôn đi qua là nghiệm của hệ 

$\left\{ \begin{aligned} & x+1=0 \\ & y+1=0\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} & x=-1\\ & y=-1 \\ \end{aligned} \right.$

Vậy điểm A có tọa độ $(-1;-1)$

Lại có: $\dfrac{-1+2}{2.(-1)+1}=-1$ nên A thuộc đường cong (H)

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:

$m(x+1)-1=\dfrac{x+2}{2x+1}\\ \Leftrightarrow m(x+1)(2x+1)-(2x+1)=x+2\\ \Leftrightarrow m(x+1)(2x+1)-x-1=0\\ \Leftrightarrow (x+1)(2mx+m-3)=0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & 2mx+m-3=0\,\,\,(1)\\ \end{aligned} \right.$

Ta có: A(-1;-1) là giao điểm của đường thẳng và đường cong (H) 

Mà $-1<-\dfrac 1 2$ nên A thuộc nhánh trái của (H).

Để đường thẳng cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H) khi (1) có nghiệm  $x<-\dfrac 1 2,\,x\ne -1$

Tức là $\left\{ \begin{aligned}&m\ne 0\\ & \dfrac{3-m}{2m}<-\dfrac 1 2 \\ & f(-1)\ne 0\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} &m\ne 0 \\& \dfrac 3 {2m}< 0 \\ & -m-3\ne 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left[ \begin{aligned} & m< -3 \\ &-3< m<0 \\ \end{aligned} \right.$