Giải bài 60 trang 56 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{3x}{2}=\dfrac{3x}{x+2} \\ & \left( \dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\dfrac{3x}{2} \right)'=\left( \dfrac{3x}{x+2} \right)' \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{2}}\left( x+2 \right)+3x\left( x+2 \right)=6x \\ & x+\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}^{3}}+5{{x}^{2}}=0 \\ & 2x{{\left( x+2 \right)}^{2}}+3{{\left( x+2 \right)}^{2}}=12 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-5\,\,\left( l \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & 2x{{\left( x+2 \right)}^{2}}+3{{\left( x+2 \right)}^{2}}=12 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất nên hai đường cong tiếp xúc với nhau tại (0;0)

Phương trình tiếp tuyến của hai đường cong là: $y=\dfrac{3}{2}x$