Giải bài 58 trang 56 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( -1;\infty \right)$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Hàm số giao Ox tại điểm $\left( \dfrac{1}{2};0 \right)$ và giao Oy tại điểm $\left( 0;-1 \right)$

Hàm số nhận điểm $I\left( -1;2 \right)$  là tâm đối xứng

b)

Đường thẳng ($d_m$) qua điểm $A(-2;2)$ có hệ số góc m là $y-2=m(x+2)$ hay $y=mx+2m+2$

Hoành độ giao điểm của đường thẳng ($d_m$) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

$\begin{aligned} & mx+2m+2=\dfrac{2x-1}{x+1} \\ & \Leftrightarrow \left( mx+2m+2 \right)\left( x+1 \right)=2x-1 \\ & \Leftrightarrow m{{x}^{2}}+3mx+2m+3=0\,\,\,\left( 1 \right) \\ \end{aligned}$

+) Đường thẳng ($d_m$) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt tức là:

$\left\{ \begin{aligned} & m\ne 0 \\ & \Delta ={{m}^{2}}-12m>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<0 \\ & m>12 \\ \end{aligned} \right.$

+) Hai nhánh của đồ thị nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng $x=-1$ của đồ thị.

Đường thẳng ($d_m$) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<-1<{{x}_{2}}$

$\begin{aligned} & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{1}}+1<0 \\ & {{x}_{2}}+1>0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+1 \right)\left( {{x}_{2}}+1 \right)<0 \\ & \Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+1<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{2m+3}{m}-\dfrac{3m}{m}+1<0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{3}{m}<0\Rightarrow m<0 \\ \end{aligned}$

Vậy với $m < 0$ thì ($d_m$) cắt (C ) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.