Giải bài 57 trang 55 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Biến thiên:

$\begin{aligned} & y'=6{{x}^{2}}+6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 0;+\infty \right)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -1;0 \right)$

Hàm số đạt cực đại tại $(-1;2)$ và cực đại tại điểm $(0;1)$

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số giao Oy tại $(0;1)$

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

$\begin{aligned} & 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1=2{{x}^{2}}+1 \\ & \Leftrightarrow 2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=-\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy (C ) và (P) cắt nhau tại hai điểm $\left( 0;1 \right)$  và $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$

c)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (0;1) là:

$\begin{aligned} & y=y'\left( 0 \right)\left( x-0 \right)+1 \\ & \Leftrightarrow y=1 \\ \end{aligned}$

Phương trình tiếp tuyến của (C ) tại điểm $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$

$\begin{aligned} & y=y'\left( -\dfrac{1}{2} \right)\left( x+\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{3}{2} \\ & y=-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4} \\ \end{aligned}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (P) tại điểm (0;1) là:

$\begin{aligned} & y=g'\left( 0 \right)\left( x-0 \right)+1 \\ & \Leftrightarrow y=1 \\ \end{aligned}$

Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm $\left( -\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2} \right)$

$\begin{aligned} & y=-2\left( x+\dfrac{1}{2} \right)+\dfrac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow y=-2x+\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned}$

d) Đồ thị (C) nằm phía trên (P) khi $f(x)> g(x)$ và (C ) nằm phía dưới (P) khi $f(x) < g(x)$

Ta có: $f(x)-g(x)=2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}-1=2{{x}^{3}}+{{x}^{2}}={{x}^{2}}\left( 2x+1 \right)$

Đồ thị (C) nằm phía trên (P) khi

 $\begin{aligned} & f\left( x \right)-g\left( x \right)>0 \\ & \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( 2x+1 \right)>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned}$

Đồ thị (C ) nằm phía dưới (P) khi

$\begin{aligned} & f\left( x \right)-g\left( x \right)<0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & -\dfrac{1}{2}< x<0 \\ & x>0 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

 Ghi nhớ: 

Nếu trên khoảng K giá trị $f(x) > g(x)$ thì đồ thị hàm số $f(x)$ nằm phía trên đồ thị hàm số $g(x)$ trên khoảng $K$ và ngược lại.