Giải bài 55 trang 50 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$

Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(1;-1)$ và $(0;2)$

Đồ thị nhận điểm $I (1;1)$ là tâm đối xứng

b)

Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến và đồ thị là $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại $\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ là

$\begin{align} & y=\left[ 1+\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right]\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}} \\ & \Leftrightarrow y=\left[ 1+\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right]\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{x}_{0}}-\dfrac{2}{{{x}_{0}}-1} \\ \end{align}$

Vì tiếp tuyến đi qua điểm $(3;3)$ nên ta có:

$\begin{align} & 3=\left[ 1+\dfrac{2}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}} \right]\left( 3-{{x}_{0}} \right)+{{x}_{0}}-\dfrac{2}{{{x}_{0}}-1} \\ & \Leftrightarrow 3{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}=\left[ {{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}+2 \right]\left( 3-{{x}_{0}} \right)+{{x}_{0}}{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}-2\left( {{x}_{0}}-1 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}_{0}}=2\Rightarrow {{y}_{0}}=0 \\ \end{align}$

Vậy phương trình tiếp tuyến có dạng $y=3x-6$