Giải bài 53 trang 50 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang

Vậy $x=2$ là tiệm cận đứng

Biến thiên:

Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$  và $\left( 2;+\infty \right)$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị giao Ox tại $(-1;0)$ và giao Oy tại điểm $\left( 0;-\dfrac{1}{2} \right)$

Đồ thị nhận $I(2;1)$ là tâm đối xứng

b)

Giao điểm A của đồ thị với trục tung là $A(0;-2)$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm A là:

$\begin{aligned} & y=\dfrac{-3}{{{\left( 0-2 \right)}^{2}}}\left( x-0 \right)+\left( -2 \right) \\ & \Leftrightarrow y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{2} \\ \end{aligned}$

c)

Giả sử B là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại A của đồ thị.

Vì hai tiếp tuyến song song nên hai tiếp tuyến có cùng hệ số góc, tức là:

$\begin{aligned} & y'\left( {{x}_{B}} \right)=y'\left( {{x}_{A}} \right) \\ & \Leftrightarrow \dfrac{-3}{{{\left( {{x}_{B}}-2 \right)}^{2}}}=\dfrac{-3}{4} \\ & \Leftrightarrow {{\left( {{x}_{B}}-2 \right)}^{2}}=4\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{x}_{B}}-2=2 \\ & {{x}_{B}}-2=-2 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{x}_{B}}=4 \\ & {{x}_{B}}=0\,\,\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Vậy $B\left( 4;\dfrac{5}{2} \right)$

Tiếp tuyến của đồ thị tại B thỏa mãn song song với tiếp tuyến tại A là

$y=-\dfrac{3}{4}\left( x-4 \right)+\dfrac{5}{2}\Leftrightarrow y=-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{11}{2}$ 

Ghi nhớ:

Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc