Giải bài 52 trang 50 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a)

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: $y=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}=x-2+\dfrac{4}{x-1}$

Giới hạn:

$\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=-\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-x+2 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{4}{x-1}=0$ nên $y=x-2$ là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

$\begin{aligned} & y'=1-\dfrac{4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-1=2 \\ & x-1=-2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=3 \\ & x=-1\\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1);(3;+\infty)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-1;1);(1;3)$

Hàm số đạt cực đại tại $(-1;-5)$ và đạt cực tiểu tại $(3;3)$

Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(3;3)$ và giao Oy tại điểm ($0;-6).$

Đồ thị nhận điểm $I(1;-1)$ là tâm đối xứng

b)

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: $y=\dfrac{-2x^2+x-1}{x-1}=-2x-1-\dfrac{2}{x-1}$

Giới hạn:

$\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=-\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y+2x+1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{-2}{x-1}=0$ nên $y=-2x-1$ là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

$\begin{aligned} & y'=-2+\dfrac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \dfrac{{{-2\left( x-1 \right)}^{2}}+2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x-1=1 \\ & x-1=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=2 \\ & x=0\\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(0;1);(1;2)$ nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;0) (1;+\infty)$

Hàm số đạt cực đại tại $(2;-7)$ và đạt cực tiểu tại $(0;1)$

Đồ thị:

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(-1;2)$ và giao Oy tại điểm ($0;1).$

Đồ thị nhận điểm $I(1;-3)$ là tâm đối xứng

c)

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$

Ta có: $y=\dfrac{2x^2+3x-3}{x+2}=2x-1-\dfrac{1}{x+2}$

Giới hạn:

$\lim\limits_{x\to {{-2}^{-}}}\,y=+\infty ;\lim\limits_{x\to {{-2}^{+}}}\,y=-\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-2x+1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1}{x+2}=0$ nên $y=2x-1$ là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

$y'=2+\dfrac{1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}> 0\forall x\in D$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-2);(-2;+\infty)$

Hàm số không có cực trị 

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao Oy tại điểm $\left(0;-\dfrac 3 2\right)$

Đồ thị nhận điểm $I(-2;-5)$ là tâm đối xứng

d)

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Giới hạn:

$\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=-\infty ;\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty$ nên $x=1$ là tiệm cận đứng

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y+x-2 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1}{x-1}=0$ nên $y=-x+2$ là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

$y'=-1-\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}< 0\forall x\in D$

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;1);(1;+\infty)$

Hàm số không có cực trị 

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao Oy tại điểm $\left(0;1\right)$

Đồ thị nhận điểm $I(1;1)$ là tâm đối xứng

Ghi nhớ:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

- Tìm TXĐ:

- Tìm các giới hạn và tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số.

- Tìm đạo hàm và các điểm tại đó đạo hàm bằng 0.

- Lập bảng biến thiên

- Tìm giao điểm với Ox, Oy.

- Vẽ đồ thị hàm số.