Giải bài 51 trang 49 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a)

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$

Ta có: $y=\dfrac{2{{x}^{2}}+5x+4}{x+2}=2x+1+\dfrac{2}{x+2}$

Giới hạn:

$\lim\limits_{x\to -{{2}^{-}}}\,y=-\infty ;\lim\limits_{x\to -{{2}^{+}}}\,y=+\infty$ nên $x=-2$ là tiệm cận đứng

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\left( y-2x-1 \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2}{x+2}=0$ nên $y=2x+1$ là tiệm cận xiên.

Biến thiên:

$\begin{aligned} & y'=2-\dfrac{2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}} \\ & y'=0\Leftrightarrow \dfrac{2{{\left( x+2 \right)}^{2}}-2}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x+2=1 \\ & x+2=-1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-1 \\ & x=-3 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt Oy tại $(0;2)$

b)

Giao điểm I của hai đường tiệm cận là $I\left( -2;-3 \right)$

Công thức chuyển hệ tọa độ theo phép tịnh tiến vectơ $\overrightarrow{OI}$  là: $\left\{ \begin{aligned} & x=X-2 \\ & y=Y-3 \\ \end{aligned} \right.$

Phương trình của đồ thị hàm số đối với hệ tọa độ IXY là:

$\begin{aligned} & Y-3=2\left( X-2 \right)+1+\dfrac{2}{X-2+2} \\ & \Leftrightarrow Y=2X+\dfrac{2}{X} \\ \end{aligned}$

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận I là tâm đối xứng.

c)

Ta có: