Giải bài 50 trang 49 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sau:

$a)\,y=\dfrac{x+1}{x-1}$

$b)\,y=\dfrac{2x+1}{1-3x}$

Lời giải:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Giới hạn:

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=1$

Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,y=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,y=+\infty$

Vậy $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị

Biến thiên:

$y'=\dfrac{-2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0\,\,\forall x\in D$

Hàm số luôn đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt Oy tại $\left( 0;-1 \right)$ và cắt Ox tại $\left( -1;0 \right)$

Đồ thị nhận điểm $I(1;1)$ là tâm đối xứng

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ \dfrac{1}{3} \right\}$

Giới hạn:

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\dfrac{-2}{3}$

Vậy $y=-\dfrac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim\limits_{x\to {{\frac{1}{3}}^{-}}}\,y=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{\frac{1}{3}}^{+}}}\,y=-\infty$

Vậy $x=\dfrac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị

Biến thiên:

$y'=\dfrac{5}{{{\left( 1-3x \right)}^{2}}}>0\,\,\forall x$

Hàm số luôn đồng biến trên hai khoảng $\left( -\infty ;\dfrac{1}{3} \right)$ và $\left( \dfrac{1}{3};+\infty \right)$

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt Oy tại $\left( 0;1 \right)$ và cắt Ox tại $\left( -\dfrac{1}{2};0 \right)$

Đồ thị nhận $I\left( \dfrac{1}{3};-\dfrac{2}{3} \right)$

Ghi nhớ:
Giao điểm của hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Bài trước Bài sau

Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao)

+ Mở rộng xem đầy đủ