Giải bài 5 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba

* Tìm tập xác định

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên: Tính $y'$ và giải phương trình $y'=0$. Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.

+) Giới hạn tại vô cực: Tính $\lim\limits_{x\to \pm\infty }\,y$

+) Lập bảng biến thiên 

* Vẽ đồ thị hàm số

a) $y=-x^3+3x+1.$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=-3{{x}^{2}}+3;\,y'=0\Leftrightarrow x=\pm 1$

Hàm số đồng biến trên $(-1;\,1)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;\,-1)$ và $(1;\,+\infty)$

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=1;\,y_{CĐ}=3$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1;\,y_{CT}=-1$.

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -1+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -{{x}^{3}}+3x+1 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -1+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty$

+Bảng biến thiên 

b) Ta có: ${{x}^{3}}-3x+m=0\Leftrightarrow -{{x}^{3}}+3x+1=m+1$

Từ đồ thị ta có:

+)  $\left[ \begin{aligned} & m+1<-1 \\ & m+1>3 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m<-2 \\ & m>2 \\ \end{aligned} \right.$ phương trình có một nghiệm

+)  $\left[ \begin{aligned} & m+1=-1 \\ & m+1=3 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m=-2 \\ & m=2 \\ \end{aligned} \right.$ phương trình có hai nghiệm

+)  $-1< m+1< 3\Leftrightarrow -2< m< 2$ phương trình có ba nghiệm.