Giải bài 5 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn: Để chứng minh $\tan x > x\,\,\left( 0 < x < \dfrac{\pi }{2} \right)$ ta chứng minh hàm số $y=f\left( x \right)=\tan x-x$  đồng biến trên nửa khoảng $\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$.

                    Ý b tương tự.

a) Xét hàm số $y=f\left( x \right)=\tan x-x$  trên nửa khoảng    $\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$

Ta có: $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1>0,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$

Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$.

Với $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$ ta có $f\left( x \right)>f\left( 0 \right)\Rightarrow \tan x>x,\,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$$.$

b) Xét hàm số  $y=g\left( x \right)=\tan x-x-\dfrac{{{x}^{3}}}{3}$ trên nửa khoảng $\,\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$.

Ta có: 

$g'\left( x \right)=\dfrac{1}{{{\cos }^{2}}x}-1-{{x}^{2}} \\=tan^2x-x^2\\=\left( \tan x-x \right)\left( \tan x+x \right)>0,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$

Do đó hàm số  đồng biến trên $\left[ 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$.

Với $0 < x < \dfrac{\pi }{2}$ ta có $g\left( x \right)>g\left( 0 \right)\Rightarrow \tan x>x+\dfrac{{{x}^{3}}}{3},\,\forall x\in \left( 0;\,\dfrac{\pi }{2} \right)$