Giải bài 48 trang 45 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a)

TXĐ: $D=\mathbb R$ 

$y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)\,\,\,(1)\\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x^2=m \\ \end{aligned} \right.$

Để phương trình có ba điểm cực trị, phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt.

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m > 0$

b)

Với $m=\dfrac 1 2$ ta có: $y=x^4-x^2+1$

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=+\infty$

$y'=4x^3-2x=2x(2x^2-1)\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\dfrac 1 2} \\ \end{aligned} \right.$

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\dfrac{\sqrt 2}{2};0)$ và $(\dfrac{\sqrt 2}{2};+\infty)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -\dfrac{\sqrt 2} 2); (0;\dfrac {\sqrt 2} 2)$

Hàm số đạt cực đại tại $(0;1)$ và đạt cực tiểu tại hai điểm $(-\dfrac{\sqrt 2} 2;\dfrac 3 4)$ và $(\dfrac{\sqrt 2} 2;\dfrac 3 4)$

$y''=12x^2-2\\ y''=0\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\sqrt{6}} 6$

Đồ thị có hai điểm uốn $I_1\left(-\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)$ và $I_2\left(\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)$

Đồ thị hàm số cắt $Oy$ tại điểm $(0;1)$

Đồ thị:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $I_1\left(-\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)$ là:

$y-\dfrac{31}{36}=y'\left(-\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\\ \Leftrightarrow y=\dfrac 4 {3\sqrt 6}x+\dfrac {13} {12}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $I_2\left(\dfrac{\sqrt 6} 6;\dfrac{31}{36}\right)$

$y-\dfrac{31}{36}=y'\left(\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt 6}{6}\right)\\ \Leftrightarrow y=-\dfrac 4 {3\sqrt 6}x+\dfrac {13} {12}$