Giải bài 47 trang 45 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Ta có:

$\begin{aligned} & y'=4x^3-6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=\pm \sqrt{\dfrac 3 2}\\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên $\left(-\sqrt{\dfrac 3 2};0\right)$ và $\left(\sqrt{\dfrac 3 2};+\infty\right)$ ; nghịch biến trên $\left(-\infty;-\sqrt{\dfrac 3 2}\right)$ và $\left(0;\sqrt{\dfrac 3 2}\right)$

Hàm đạt cực tiểu tại điểm $\left(-\sqrt{\dfrac 3 2};-\dfrac 1 4\right)$ và $\left(\sqrt{\dfrac 3 2};-\dfrac 1 4\right)$; cực đại tại $(0;2)$

Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với Ox tại $(1;0); (-1;0)$; giao với Oy tại điểm $(0;2)$

b)

Giả sử $M(x_0;y_0)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m.

Ta có:

$y_0=x^4_0-(m+1)x^2_0+m\\ \Leftrightarrow m(1-x^2_0)+x_0^4-x^2_0-y_0=0$

Đồ thị đi qua điểm $(x_0;y_0)$ với mọi m khi và chỉ khi phương trình trên nghiệm đúng với mọi m, tức là: 

$\left\{ \begin{aligned} & 1-x^2_0=0 \\ & x^4_0-x_0^2-y_0=0 \\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & x_0=1 \\ & y_0=0 \\ \end{aligned} \right. \\ & \left\{ \begin{aligned} & x_0=-1 \\ & y_0=0 \\ \end{aligned} \right.\\ \end{aligned} \right.$

Vậy với mọi giá trị của M đồ thị hàm số luôn đi qua hai điểm $(1;0);(-1;0)$