Giải bài 46 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a) Hoành độ giao điểm của đường cong đã cho và trục hoành là nghiệm của phương trình:

$(x+1)(x^2+2mx+m+2)=0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ &x^2+2mx+m+2=0 \,\,\,(*)\\ \end{align} \right.$

Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là:

$\left\{ \begin{aligned} & \Delta'=m^2-m-2>0 \\ & (-1)^2+2m(-1)+m+2\ne 0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m-1\,\text{hoặc}\, m >2 \\ & m\ne 3 \\ \end{aligned} \right.$

Vậy $m\in (-\infty; -1)\cup (2;3)\cup (3;+\infty)$

b)

Tại $m=-1$, ta có: $y=(x+1)(x^2-2x+1)$

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty$

Ta có:

$\begin{aligned} & y'=3x^2-2x-1 \\ & y'=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=-\dfrac 1 3 \\ & x=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng  biến thiên

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -\dfrac 1 3); (1;+\infty)$  và nghịch biến trên khoảng $(-\dfrac 1 3; 1)$

Hàm số đặt cực đại tại $(-\dfrac 1 3 ; \dfrac{32}{27})$ và cực tiểu tại $(1;0)$

Đồ thị:

Đồ thị hàm số cắt Oy tại điểm $(0;1)$