Giải bài 43 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

a)

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=-\infty$

Sự biến thiên:

$y'=-4x^3+4x\\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm1 \\ \end{align} \right.$

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(0;1)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty)$

Hàm số đạt cực đại tại $x=-1;f(-1)=-1$ và $x=1;f(1)=-1$, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;f(0)=-2$

3. Đồ thị

Đồ thị hàm số giao với Oy tại $(0;-2)$

Vì $y=-x^4+2x^2-2$ là hàm chẵn nên đồ thị hàm số nhận Oy là trục đối xứng

b)

Số nghiệm của phương trình $-x^4+2x^2-2=m$ (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^4+2x^2-2$ và đường thẳng $y=m$. 

Từ đồ thị hàm số ta có:

+) Nếu $m> -1$ phương trình (*) vô nghiệm

+) Nếu $m=-1$ hoặc $m < -2$ phương trình (*) có hai nghiệm.

+) Nếu $m=-2$ phương trình (*) có ba nghiệm

+) Nếu $-2< m< -1$ phương trình (*) có bốn nghiệm.

c)

Ta có: 

$y''=-12x^2+4\\ y''=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\dfrac{1}{\sqrt 3} \\ & x=\dfrac{1}{\sqrt 3} \\ \end{align} \right.$

Vậy đồ thị có hai điểm uốn là $I_1=\left(-\dfrac{1}{\sqrt 3}; \dfrac{-13} 9\right)$ và $I_2=\left(\dfrac{1}{\sqrt 3}; \dfrac{-13} 9\right)$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại $I_1$ là:

$y=y'\left(-\dfrac 1 {\sqrt 3}\right).\left(x+\dfrac 1 {\sqrt 3}\right)+\dfrac{-13} 9\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{-8}{3\sqrt 3}x-\dfrac 7 3$

Tương tự, ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại $I_2$ là:

 $y=y'\left(-\dfrac 1 {\sqrt 3}\right).\left(x+\dfrac 1 {\sqrt 3}\right)+\dfrac{-13} 9\\ \Leftrightarrow y=\dfrac{8}{3\sqrt 3}x-\dfrac 7 3$

Ghi nhớ:

Hoành độ của điểm uốn là nghiệm của phương trình $y''=0$