Giải bài 41 trang 44 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

$\begin{aligned} & y'=-3{{x}^{2}}+6x \\ & y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$; nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$

Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=2;y(2)=3$ và đạt cực tiểu tại điểm $x=0;y(0)=-1$

Đồ thị hàm số:

Giao điểm của đồ thị với trục tung là: $A(0;-1)$

Hai điểm khác thuộc đồ thị hàm số là: $B(1;1);\,C(-1;3)$

b)

Số nghiệm của phương trình $-x^3+3x^2-1=m$ (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-1$ và đường thẳng $y=m$.

Từ đồ thị hàm số ta có:

+) Nếu $m\in (-\infty;-1)\cup(3;+\infty)$ thì phương trình (1) có một nghiệm.

+) Nếu $m=-1$ hoặc $m=-3$ thì phương trình (1) có hai nghiệm.

+) Nếu $m\in (-1;3)$ thì phương trình (1) có ba nghiệm.