Giải bài 4 trang 44 – SGK môn Giải tích lớp 12

a) ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0$

Xét hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=3{{x}^{2}}-6x;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2 \\ \end{align} \right.$

Hàm số nghịch biến trên $(0;\,2)$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;\,0)$ và $(2;\,+\infty)$

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\,y_{CĐ}=5$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2;\,y_{CT}=1$.

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty$

+Bảng biến thiên 

Số nghiệm của phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5$ với trục hoành.

b) $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0$

Xét hàm số $y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=-6{{x}^{2}}+6x;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$

Hàm số đồng biến trên $(0;\,1)$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;\,0)$ và $(1;\,+\infty)$

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=1;\,y_{CĐ}=-1$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;\,y_{CT}=-2$.

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2 \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right) \right]=+\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2 \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{{{x}^{3}}} \right) \right]=-\infty$

+Bảng biến thiên 

* Đồ thị

Số nghiệm của phương trình $-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-2$ với trục hoành.

c) $2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1$

Xét hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=-4{{x}^{3}}+4x;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right.$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-1;\,0)\,\text{và}\,(1;\,+\infty)$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;\,-1)$ và $(0;\,1)$

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=\pm1;\,y_{CĐ}=1$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;\,y_{CT}=0$.

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left(- {{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left( -1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right) \right]=-\infty \\ \lim\limits_{x\to +\infty }\,\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(- 1+\dfrac{2}{{{x}^{2}}} \right) \right]=-\infty$

+Bảng biến thiên 

* Đồ thị

Số nghiệm của phương trình $2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}=-1$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}$ với đường thẳng $y=-1$.
Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số giao với đường thẳng $y=-1$ tại 2 điểm.

Chú ý: Số nghiệm của phương trình $f(x)=0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ với trục hoành.

           Số nghiệm của phương trình $f(x)=g(x)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f(x)$ và đồ thị hàm số $y=g(x)$.