Giải bài 35 trang 35 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Lý thuyết:

Đường thẳng $y={{y}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y= f(x)$ nếu:

$\lim\limits_{x\to +\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}$ hoặc $\lim\limits_{x\to -\infty }f\left( x \right)={{y}_{0}}$

Đường thẳng $x={{x}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y= f(x)$  nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

$\begin{align} & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=+\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=+\infty \\ & \lim\limits_{x\to x_{0}^{-}}f\left( x \right)=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}^{+}}f\left( x \right)=-\infty \\ \end{align}$

Đường thẳng $y =ax+b$ được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y= f(x)$ nếu 

$\lim\limits_{x\to +\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0$ hoặc $\lim\limits_{x\to -\infty }[f\left( x \right)-(ax+b)]=0$

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Vì $\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,\,y=\lim\limits_{x\to {{0}^{-}}}\,\,y=-\infty$  nên $x=0$  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left[ y-\left( x-3 \right) \right]=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\dfrac{2x-1}{{{x}^{2}}}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( \dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{{{x}^{2}}} \right)=0$ nên $y=x-3$  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0;2 \right\}$

Vì $\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to {{0}^{+}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=+\infty$  nên $x=0$ là tiệm cận đứng của đồ thị

$\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=-\infty ;\,\,\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\,\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}=+\infty$  nên $x=2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Lại có: $y=\dfrac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}+2x}=\dfrac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+2x}=x-\dfrac{2{{x}^{2}}-2}{{{x}^{2}}+2x}$

Nên

$\begin{align} & \lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( y-x \right)=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( -\dfrac{2{{x}^{2}}-x}{{{x}^{2}}+2x} \right)=-2 \\ & \Rightarrow \lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\,\left( y-x+2 \right)=0 \\ \end{align}$

Vậy đường thẳng $y=x-2$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c)

TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;1 \right\}$