Giải bài 3 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số phân thức:

* Tìm tập xác định

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên: Tính $y'$ và giải phương trình $y'=0$. Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.

+) Tiệm cận: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

+) Lập bảng biến thiên 

* Vẽ đồ thị hàm số

a) $y=\dfrac{x+3}{x-1}$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=\dfrac{-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne 1$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;1 \right)\,\text{và}\,\left(1;\,+\infty \right)$

+) Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị

+) Tiệm cận

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{x+3}{x-1}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1+\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{1}{x}}=1$ nên đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang.

$\lim\limits_{x\to {{1}^{+}}}\,\dfrac{x+3}{x-1}=+\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{1}^{-}}}\,\dfrac{x+3}{x-1}=-\infty$ nên đường thẳng $x=1$ là tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên 

b) $y=\dfrac{1-2x}{2x-4}$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=\dfrac{3}{2{{\left( x-2 \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\ne 2$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;{2} \right)\,\text{và}\,\left(2;\,+\infty \right)$

+) Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị

+) Tiệm cận

$\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{1-2x}{2x-4}=\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{\dfrac{1}{x}-2}{2-\dfrac{4}{x}}=-1$ nên đường thẳng $y=-1$ là tiệm cận ngang.

$\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{1-2x}{2x-4}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\dfrac{1-2x}{2x-4}=+\infty$ nên đường thẳng $x=2$ là tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên 

* Đồ thị

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm $\left(\dfrac{1}{2};\,0\right)$,

cắt trục Oy tại điểm $\left(0;\,-\dfrac{1}{4}\right)$.

 

c) $y=\dfrac{-x+2}{2x+1}$

* Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\dfrac{1}{2} \right\}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=\dfrac{-5}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne -\dfrac{1}{2}$

 

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,-\dfrac{1}{2} \right)$ và $\left( -\dfrac{1}{2};\,+\infty \right)$.

+) Cực trị

Hàm số đã cho không có cực trị

+) Tiệm cận

$\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x+2}{2x+1}=-\dfrac{1}{2}$ nên đường thẳng $y=-\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận ngang.

$\underset{x\to {{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x+2}{2x+1}=+\infty;\, \underset{x\to {{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{-x+2}{2x+1}=-\infty$ nên đường thẳng $x=-\dfrac{1}{2}$ là tiệm cận đứng.

+) Bảng biến thiên 

* Đồ thị

Đồ thị của hàm số cắt trục Ox tại điểm $(2;\,0)$,

cắt trục Oy tại điểm $(0;\,2)$.