Giải bài 3 trang 126 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn:

a) Biến đổi f(x) về dạng đa thức.

b) Sử dụng công thức nhân đôi $\cos ^2 2x=\dfrac {1+\cos 4x}{2}$

c) Biến đổi về hiệu hai phân thức.

d) Đưa về nguyên hàm của hàm đa thức.

a) 

$\begin{aligned} \int{\left( x-1 \right)\left( 1-2x \right)\left( 1-3x \right)dx} & =\int{\left( -2{{x}^{2}}+3x-1 \right)\left( 1-3x \right)dx} \\ & =\int{\left( 6{{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+6x-1 \right)dx} \\ & =\dfrac{3{{x}^{4}}}{2}-\dfrac{11{{x}^{3}}}{3}+3{{x}^{2}}-x+C \\ \end{aligned}$

b) 

$\begin{aligned} \int{\sin 4x{{\cos }^{2}}2xdx}&=\int{\sin 4x\dfrac{1+\cos 4x}{2}dx} \\ & =\dfrac{1}{2}\int{\sin 4xdx}+\dfrac{1}{4}\int{\sin 8x}dx \\ & =-\dfrac{\cos 4x}{8}-\dfrac{\cos 8x}{32}+C \\ \end{aligned}$

c)

$\begin{aligned} \int{\dfrac{1}{1-{{x}^{2}}}dx}&=\int{\dfrac{1}{\left( 1-x \right)\left( 1+x \right)}dx} \\ & =\int{\left( \dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x} \right)dx} \\ & =-\ln \left| \dfrac{1-x}{1+x} \right|+C \\ \end{aligned}$

d)

$\begin{aligned} \int{{{\left( {{e}^{x}}-1 \right)}^{3}}dx}&=\int{\left( {{e}^{3x}}-3{{e}^{2x}}+3{{e}^{x}}-1 \right)dx} \\ & =\dfrac{{{e}^{3x}}}{3}-\dfrac{3{{e}^{2x}}}{2}+3{{e}^{x}}-x+C \\ \end{aligned}$