Giải bài 2 trang 7 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Hướng dẫn:
Để chứng minh: hàm số đồng biến trên tập $K\subset D$, ta chứng minh $y'>0\forall x\in K$
                          hàm số nghịch biến trên tập $K\subset D$, ta chứng minh $y'<0\forall x\in K$

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$

$y'=\dfrac{4}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}>0\,\forall x\in D$

Do vậy hàm số luôn nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$  và $\left( -2;+\infty \right)$

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$

$\begin{aligned} & y'=\dfrac{\left( -2x-2 \right)\left( x+1 \right)-\left( -{{x}^{2}}-2x+3 \right)}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}} \\ & =\dfrac{-{{x}^{2}}-2x-5}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=-\dfrac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}<0\,\forall x\,\,\in D \\ \end{aligned}$

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$  và $\left( -1;+\infty \right)$