Giải bài 2 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=4x^3-4x=4x(x^2-1);\,\\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right.$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;\,-1)\,\text{và}\,(0;\,1)$.

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;\,0)$ và $(1;\,+\infty)$.

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=0;\,y_{CĐ}=2$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm1;\,y_{CT}=1$.

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(1- \dfrac{2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(1- \dfrac{2}{{{x}^{2}}}+\dfrac{2}{{{x}^{4}}} \right) \right]= +\infty$

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

 

 

c) $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-\dfrac{3}{2}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=2{{x}^{3}}+2x=2x\left( {{x}^{2}}+1 \right);\,\\y'=0\Leftrightarrow x=0$

Hàm số đồng biến trên $(0;\,+\infty)$ và nghịch biến trên $(-\infty;\,0)$.

+) Cực trị

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0;\,y_{CT}=-\dfrac{3}{2}$ và không có cực đại.

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{4}}\left(\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{{{x}^{2}}}-\dfrac{3}{2{{x}^{4}}} \right) \right]= +\infty$

+) Bảng biến thiên

d) $y=-2{{x}^{2}}-{{x}^{4}}+3$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=-4x-4{{x}^{3}}=-4x\left( 1+{{x}^{2}} \right);\,\\y'=0\Leftrightarrow x=0$

Hàm số đồng biến trên $(-\infty;\,0)$ và nghịch biến trên $(0;\,+\infty)$.