Giải bài 2 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12

Áp dụng Quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$

b) $y=\sin 2x-x$

c) $y=\sin x+\cos x$

d) $y={{x}^{5}}-{{x}^{3}}-2x+1$

Lời giải:

$y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1$

Tập xác định:

$D=\mathbb{R}$ .

$y'=4{{x}^{3}}-4x=4x\left( {{x}^{2}}-1 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 1 \\ \end{align} \right.$

$y''=12{{x}^{2}}-4$

$y''\left( 0 \right)=-4<0$ , hàm số đạt cực đại tại

$x=0,\,{{y}_{CĐ}}=1$ ...

$y''\left( \pm 1 \right)=8>0$ , hàm số đạt cực tiểu tại

$x=\pm 1,\,{{y}_{CT}}=0$ .

$y=\sin 2x-x$

Tập xác định:

$D=\mathbb{R}$

$y'=2\cos 2x-1;\,y'=0\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \\ y''=-4\sin 2x$

Với

$x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi,\, y''\left( \dfrac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \dfrac{\pi }{3}=-2\sqrt{3}<0$

Hàm số đạt cực đại tại

$x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .

Với

$x=-\dfrac{\pi }{6}+k\pi,\, y''\left(- \dfrac{\pi }{6}+k\pi \right)=-4\sin \left( -\dfrac{\pi }{3} \right)=2\sqrt{3}>0$

Hàm số đạt cực tiểu tại

$x=-\dfrac{\pi }{6}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z}$ .

$y=sinx+cosx$

Tập xác định:

$D=\mathbb{R}$ .

$y'=\cos x-\sin x;\,y'=0\Leftrightarrow \sin x=\cos x\Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \\ y''=-\sin x-\cos x$

Với

$k=2m\,\left( m\in \mathbb{Z} \right),\,y''\left( \dfrac{\pi }{4}+2m\pi \right)=-\sin \dfrac{\pi }{4}-\cos \dfrac{\pi }{4}=-\sqrt{2}<0$

Hàm số đạt cực đại tại

$x=\dfrac{\pi }{4}+2m\pi ,\,m\in \mathbb{Z}$ .

Với

$k=2m+1\,\left( m\in \mathbb{Z} \right),\,y''\left( \dfrac{\pi }{4}+\left( 2m+1 \right)\pi \right)=\sin \dfrac{\pi }{4}+\cos \dfrac{\pi }{4}=\sqrt{2}>0$

Hàm số đạt cực tiểu tại

$x=\dfrac{\pi }{4}+\left( 2m+1 \right)\pi ,\,m\in \mathbb{Z}$ .

$y={{x}^{5}}-{{x}^{3}}-2x+1$

Tập xác định:

$D=\mathbb{R}$ .

$y'=5{{x}^{4}}-3{{x}^{2}}-2=\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( 5{{x}^{2}}+2 \right);\,y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1 \\ y''=20{{x}^{3}}-6x$

$y''\left( 1 \right)=14>0$ , hàm số đạt cực tiểu tại

$x=1$ .

$y''\left( -1 \right)=-14<0$ , hàm số đạt cực đại tại

$x=-1$ .

Ghi nhớ: Quy tắc xét tìm cực trị: Quy tắc II.
1. Tìm tập xác định.
2.Tính $f'(x)$ . Giải phương trình $f'(x)=0$ và kí hiệu $x_i\,(i=1,2,...,n)$ là các nghiệm của nó.
3. Tính $f''(x)$ và $f''(x_i)$ .
4. Dựa vào dấu của $f''(x_i)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x_i$ .

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 2: Cực trị của hàm số khác • Giải bài 1 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Áp dụng Quy tắc I, hãy... • Giải bài 2 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Áp dụng Quy tắc II, hãy... • Giải bài 3 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Chứng minh hàm... • Giải bài 4 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Chứng minh rằng với... • Giải bài 5 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tìm

$a$ và ... • Giải bài 6 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 Xác định giá trị của...

Mục lục Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao) theo chương •Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 (Nâng cao) •Chương 4: Số phức - Giải tích 12 (Nâng cao)

Bài trước Bài sau

Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao)

Bài 2: Cực trị của hàm số

• Giải bài 1 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 2 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 3 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 4 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 5 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12 • Giải bài 6 trang 18 – SGK môn Giải tích lớp 12

Giải bài tập SGK Toán 12 (Nâng cao)

Chương 1: Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương 4: Số phức

+ Mở rộng xem đầy đủ