Giải bài 19 trang 22 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Hướng dẫn:

Tính diện tích hình chữ nhật MNPQ theo a, rồi tìm GTLN.

Đặt $BM=x\,\, (0< x< \dfrac a 2)$

Gọi H là trung điểm của BC, ta có: $AH=\dfrac{a\sqrt 3}{2}$

$\Delta BMQ =\Delta CNP\Rightarrow BM=NC=x\Rightarrow MN=a-2x$

$QM//AH\Rightarrow \dfrac{QM}{AH}=\dfrac{BM}{BH}\\ \Rightarrow QM=\dfrac{AH.BM}{BH} =\dfrac{\dfrac{a\sqrt 3}{2}.x}{\dfrac a 2}=x\sqrt 3$

Diện tích hình chữ nhật $MNPQ$ là:

$S(x)=MN.QM=(a-2x)(x\sqrt 3)=-2\sqrt 3 x^2+a\sqrt 3 x$

Ta thực hiện tìm giá trị lớn nhất của $S(x)$ trên khoảng $(0;\dfrac a 2)$

Ta có:

$S'(x)=-4\sqrt 3 x+a\sqrt 3$

$S'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac a 4\in \left(0;\dfrac a 2 \right)$

Bảng biến thiên:

Vậy S(x) đạt GTLN tại điểm $x=\dfrac a 4$ và giá trị lớn nhất của MNPQ là $\dfrac{\sqrt 3} 8a^2$