Giải bài 18 trang 22 - SGK Giải tích lớp 12 nâng cao

Gợi ý:

Tập giá trị của  $\sin x$ và $\cos x$ là  $[-1;1]$

Hướng dẫn:

Bước 1: Đặt $\sin x=t\,\, (t\in [-1;1]) \,\, (\cos x=t)$

Bước 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $y=f(t)$ trên $[-1;1]$

a)

Đặt $\sin x=t\,\, (t\in [-1;1])$

Ta có: 

$f(t)=2t^2+2t-1\\ f'(t)=4t+2\\ f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac 1 2\in [-1;1]$

Ta có:

$f(-1)=-1;\,f\left(-\dfrac 1 2\right)=-\dfrac 3 2;f(1)=3$

Vậy:

$\begin{align} & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=-\dfrac{3}{2}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Min}}\,y=-\dfrac{3}{2} \\ & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=3\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Max}}\,y=3 \\ \end{align}$

b)

Ta có:

 $y=\cos^2 2x-\sin x\cos x+4\\=\cos^2 2x-\dfrac 1 2 \sin 2x+4\\=-\sin^2 2x-\dfrac 1 2\sin 2x+5$

Đặt $t=\sin 2x, -1\le t \le 1$

$y=f(t)=-t^2-\dfrac 1 2 t +5\\ f'(t)=2t-\dfrac 1 2\\ f'(t)=0\Leftrightarrow t=-\dfrac 1 4 \in [-1;1]$

Ta có:

$f(-1)=\dfrac 9 2;f\left(-\dfrac 1 4\right)=\dfrac {81}{16};f(1)=\dfrac 7 2$

Vậy 

$\begin{align} & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Min}}\,f\left( t \right)=\dfrac{7}{2}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Min}}\,y=\dfrac{7}{2} \\ & \underset{t\in \left[ -1;1 \right]}{\mathop{Max}}\,f\left( t \right)=\dfrac{81}{16}\Rightarrow \underset{x\in \mathbb{R}}{\mathop{Max}}\,y=\dfrac{81}{16} \\ \end{align}$