Giải bài 1 trang 45 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn:

Xem lại nội dung định lí trang 6, 7 SGK Giải tích 12.

Định lí: 

Định lí mở rộng: 
Giả sử hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $K$. Nếu $f'\left( x \right)\ge 0\,\left( f'\left( x \right)\le 0 \right),\,\forall x\in K$và $f'\left( x \right)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên $K$.

Áp dụng:

a) $y=-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x-7$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

$y'=-3{{x}^{2}}+4x-1;\,\\y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\dfrac{1}{3} \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$

Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow y'> 0$

$\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+4x-1> 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 1$

Hàm số nghịch biến $\Leftrightarrow y'< 0$

$\Leftrightarrow -3{{x}^{2}}+4x-1<0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x>1 \\ & x<\dfrac{1}{3} \\ \end{align} \right.$

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( \dfrac{1}{3};\,1 \right)$ và nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,\dfrac{1}{3} \right)$ và $\left( 1;\,+\infty \right)$

b) $y=\dfrac{x-5}{1-x}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

$y'=\dfrac{-4}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\in D$

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,1 \right)$ và $\left( 1,\,+\infty \right)$