Giải bài 1 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=3{{x}^{2}}+8x+4 \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\dfrac{2}{3} \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.$

Hàm số nghịch biến trên $\left(-2;\,-\dfrac{2}{3}\right)$

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;\,-2)$ và $\left(-\dfrac{2}{3};\,+\infty\right)$

+) Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại $x=-2;\,y_{CĐ}=0$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-\dfrac{2}{3};\,y_{CT}=-\dfrac{32}{27}$.

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right) \right]=-\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right) \right]=+\infty$

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

c) $y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=3{{x}^{2}}+2x+9>0,\,\forall x\in \mathbb{R}$

Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định và không có cực trị

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right) \right]= -\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right) \right]= +\infty$

+) Bảng biến thiên

d) $y=-2{{x}^{3}}+5$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

$y'=-6{{x}^{2}}\le0,\,\forall x\in \mathbb{R}$

Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định và không có cực trị

+) Giới hạn tại vô cực

$\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]= +\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]= -\infty$

+) Bảng biến thiên