Giải bài 1 trang 23 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn: Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

1. Tìm các điểm $x_1,x_2,...,x_n$ trên khoảng (a; b) tại đó $f'(x)$ bằng 0 hoặc không xác định.

2. Tính $f(a),f(x_1),f(x_2),...,f(x_n),f(b)$.

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

$\max\limits_{x\in \left[ a;b \right]}\,f(x)=M;\,\min\limits_{x\in \left[a;b \right]}\,f(x)=m$

$a) <span\; class="math-tex">\$y=x^3-3x^2-9x+35\$</span>$

* Xét $D=[-4; 4]$$.$ Hàm số liên tục trên $[-4; 4]$.

       $y'=3{{x}^{2}}-6x-9;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\in D \\ & x=-1\in D \\ \end{align} \right.$

        Ta có: $y(-4)=-41; y(4)=15; y(3)=8; y(-1)=40$$.$

        Vậy $\max\limits_{x\in \left[ -4;\,4 \right]}\,y=40;\,\min\limits_{x\in \left[ -4;\,4 \right]}\,y=-41$$.$

* Xét $D=[0; 5]$$.$ Hàm số liên tục trên $[0; 5].$

        $y'=3{{x}^{2}}-6x-9;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\in D \\ & x=-1\notin D \\ \end{align} \right.$

        Ta có: $y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8$$.$

        Vậy $\max\limits_{x\in \left[ 0;\,5 \right]}\,y=40;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;5 \right]}\,y=8$$.$

$b) <span\; class="math-tex">\$y=x^4-3x^2+2\$</span>$

* Xét $D=[0; 3]$$.$ Hàm số liên tục trên $[0; 3]$$$.

        $y'=4{{x}^{3}}-6x=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\in D \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\in D \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ \end{align} \right.$

        Ta có:$y(0)=2; y(3)=56; y\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)=-\dfrac{1}{4}$$.$

        Vậy $\max\limits_{x\in \left[ 0;\,3 \right]}\,y=56;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;3 \right]}\,y=-\dfrac{1}{4}$$.$

* Xét $D=[2; 5]$$.$ Hàm số liên tục trên $[2; 5]$.

        $y'=4{{x}^{3}}-6x=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\notin D \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ \end{align} \right.$

        Ta có: $y(2)=6; y(5)=552$$.$

        Vậy $\max\limits_{x\in \left[ 0;\,3 \right]}\,y=6;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;3 \right]}\,y=552$

c) $y=\dfrac{2-x}{1-x}$

* Xét $D=[2; 4]$$.$ Hàm số liên tục trên $[2; 4]$$$.

       $y'=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\forall x\ne 1$$.$

        Ta có: $y(2)=0; y(4)=23$$.$

        Vậy $\max\limits_{x\in \left[ 2;\,4 \right]}\,y=0;\,\min\limits_{x\in \left[ 2;\,4 \right]}\,y=\dfrac{2}{3}$

* Xét $D=[-3; -2]$$.$ Hàm số liên tục trên $[-3; -2]$.

        $y'=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\forall x\ne 1$$$

        Ta có: $y(-3)=\dfrac{5}{4}; y(-2)=\dfrac{4}{3}$$.$

        Vậy $\max\limits_{x\in \left[ -3;\,-2 \right]}\,y=\dfrac{5}{4};\,\min\limits_{x\in \left[ -3;\,-2 \right]}\,y=\dfrac{4}{3}$$.$

$d) <span\; class="math-tex">\$y=\backslash sqrt\{5-4x\}\$</span>$

Xét $D=[-1; 1]$$.$ Hàm số liên tục trên $[-1; 1]$$$.

        $y'=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0,\,\forall x\in \left[ -1;\,1 \right]$

        Ta có: $y(-1)=3; y(1)=1$$.$

        Vậy $\min\limits_{x\in \left[ -1;\,1 \right]}\,y=1;\,\max\limits_{x\in \left[ -1;\,1 \right]}\,y=3$