Giải bài 90 trang 131 SGK giải tích nâng cao 12

Hướng dẫn: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M(x_o;y_o)$ có phương trình:

                                                                             $y=f'(x_o)(x-x_o)+y_o$

Ta có: $x=0\Rightarrow y=\dfrac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{0}}}{\ln 2}=\dfrac{1}{\ln 2}$

Do đó $A\left( 0;\dfrac{1}{\ln 2} \right)\Rightarrow OA=\dfrac{1}{\ln 2}$

$y'=\dfrac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{x}}}{\ln 2.\ln \sqrt{2}}=\dfrac{{{\left( \sqrt{2} \right)}^{x}}}{2{{\ln }^{2}}2} \\ \Rightarrow y'\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2{{\ln }^{2}}2}$

Suy ra phương trình tiếp tuyến của (G) tại A là

$y=\dfrac{1}{2{{\ln }^{2}}2}x+\dfrac{1}{\ln 2}$

Với $y=0\Rightarrow \dfrac{1}{2{{\ln }^{2}}2}x+\dfrac{1}{\ln 2}=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{2}{\ln 2}$

Suy ra $B\left( -\dfrac{2}{\ln 2};0 \right)\Rightarrow OB=\dfrac{2}{\ln 2}$

Diện tích của tam giác OAB là

${{S}_{OAB}}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{\ln 2}.\dfrac{1}{\ln 2}=\dfrac{1}{{{\ln }^{2}}2}\approx 2,081$