Giải bài 9 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12

Gọi số phức $z=a+bi,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$

a) Ta có: $\left\{ \begin{aligned} & z-i=a+bi-i=a+\left( b-1 \right)i \\ & z+i=a+bi+i=a+\left( b+1 \right)i \\ \end{aligned} \right.$

$\left| z-i \right|=1 \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=1 \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}=1$

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I\left( 0;1 \right)$, bán kính $R=1 .$

b) $\left| \dfrac{z-i}{z+i} \right|=1$

$\Leftrightarrow \left| z-i \right|=\left| z+i \right| \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}} \\ \Leftrightarrow b=0$

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung.

c) Ta có 

$\begin{aligned} \overline{z}-3+4i&=a-bi-3+4i \\ & =\left( a-3 \right)+\left( -b+4 \right)i \\ \end{aligned}$

$\Rightarrow \left| z \right|=\left| \overline{z}-3+4i \right| \\ \Leftrightarrow \sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\sqrt{{{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( -b+4 \right)}^{2}}} \\ \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+{{\left( -b+4 \right)}^{2}} \\ \Leftrightarrow 6a+8b-25=0$

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng có phương trình $6x+8y-25=0$.