Giải bài 8 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12

a) Gọi số phức $z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)$. Khi đó $\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Vectơ $\overrightarrow{u}$ của mặt phẳng phức biểu diễn số phức $z$ thì $\overrightarrow{u}=\left( a,b \right)$.

Suy ra $\left| \overrightarrow{u} \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}|=\left| z \right|$.

Nếu  ${{A}_{1}},{{A}_{2}}$ theo thức tự biểu diễn các số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ thì $\overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\overrightarrow{O{{A}_{2}}}-\overrightarrow{O{{A}_{1}}}$ biểu diễn ${{z}_{2}}-{{z}_{1}}$ nên $\left| \overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}} \right|=\left| {{z}_{2}}-{{z}_{1}} \right|$.

b) +) Giả sử các số phức $z=a+bi,z'=a'+b'i$ thì ${{\left| z \right|}^{2}}=a{^{2}}+b{^{2}},{{\left| z' \right|}^{2}}=a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}}$ và $zz'=\left( aa'-bb' \right)+\left( ab'+a'b \right)i$

$\begin{aligned} \Rightarrow {{\left| zz' \right|}^{2}}&={{\left( aa'-bb' \right)}^{2}}+{{\left( ab'+a'b \right)}^{2}} \\ & ={{\left( aa' \right)}^{2}}+{{\left( bb' \right)}^{2}}+{{\left( ab' \right)}^{2}}+{{\left( a'b \right)}^{2}} \\ & =\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( a{{'}^{2}}+b{{'}^{2}} \right) \\ & ={{\left| z \right|}^{2}}.{{\left| z' \right|}^{2}} \\ \end{aligned}$

$\Rightarrow \left| zz' \right|=\left| z \right|.\left| z' \right|$.

+) Với $z\ne 0$ ta có

$\left| \dfrac{z'}{z} \right|=\left| \dfrac{z'\overline{z}}{{{\left| z \right|}^{2}}} \right|=\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}.\left| z'.\overline{z} \right|=\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}.\left| \overline{z} \right|.\left| z' \right|=\dfrac{1}{{{\left| z \right|}^{2}}}.\left| z \right|.\left| z' \right|=\dfrac{\left| z' \right|}{\left| z \right|}$

c) Giả sử $\overrightarrow{u}$ biểu diễn số phức $z$ và $\overrightarrow{u'}$ biểu diễn số phức $z'$ thì $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'}$ biểu diễn số phức $z+z'$.

Theo câu a, ta có: $\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'} \right|=\left| z+z' \right|;\left| \overrightarrow{u} \right|=\left| z \right|,\left| \overrightarrow{u'} \right|=\left| z' \right|$

Mà $\left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{u'} \right|\le \left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{u'} \right|$

Suy ra $\left| z+z' \right|\le \left| z \right|+\left| z' \right|$.

Dấu "=" xảy ra khi $z=0$ hoặc $z'=0$.