Giải bài 77-78 trang 127 SGK giải tích nâng cao 12

77.a) ${{2}^{{{\sin }^{2}}x}}+{{4.2}^{{{\cos }^{2}}x}}=6$

Đặt ${{\sin }^{2}}x=t,t\in \left[ 0;1 \right]$ phương trình trở thành

${{2}^{t}}+{{4.2}^{1-t}}=6 \\ \Leftrightarrow {{2}^{2t}}-{{6}^{t}}+8=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{2}^{t}}=4 \\ & {{2}^{t}}=2 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=2\,\left( \text{loại} \right) \\ & t=1 \\ \end{aligned} \right.$

Với $t=1\Leftrightarrow {{\sin }^{2}}x=1\Leftrightarrow \sin x=\pm 1$

$\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{2}+k2\pi\,( k\in\mathbb{Z} )$

b) ${{4}^{3+2\cos 2x}}-{{6.4}^{1+\cos 2x}}={{4}^{\frac{1}{2}}}$

$\Leftrightarrow {{4.4}^{2\left( 1+\cos 2x \right)}}-{{6.4}^{1+\cos 2x}}-2=0$

Đặt ${{4}^{1+\cos 2x}}=t,t>0$ phương trình trở thành

$4{{t}^{2}}-6t-2=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t=2 \\ & t=-\dfrac{1}{2}\,\left( \text{loại} \right) \\ \end{aligned} \right.$

Với $t=2\Leftrightarrow {{4}^{1+\cos 2x}}=2\Leftrightarrow 2\left( 1+\cos 2x \right)=1$

$\Leftrightarrow \cos 2x=-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

78.a) ${{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}=x+4$

Xét $f\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}$

$f'\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{3} \right)}^{x}}.ln\dfrac{1}{3}<0$

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên $\mathbb R$.

Xét $g\left( x \right)=x+4$

$g'\left( x \right)=1>0$

Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên $\mathbb R$.

Mà $f\left( -1 \right)=g\left( -1 \right)$

$\Rightarrow x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

b) ${{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}+{{\left( \cos \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}=1$

Xét $f\left( x \right)={{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}+{{\left( \cos \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}$

$f'\left( x \right)={{\left( \sin \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{\pi }{5}+{{\left( \cos \dfrac{\pi }{5} \right)}^{x}}.\ln \dfrac{\pi }{5}<0$

Suy ra hàm số f(x) nghịch biến trên $\mathbb R$.

$g(x) = 1$ là hằng số

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Mà $f\left( 2 \right)=1$

$\Rightarrow x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Chú ý: Nếu f(x) đơn điệu và g(x) là một hằng số thì phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất.