Giải bài 71 trang 125 SGK giải tích nâng cao 12

Hướng dẫn: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài toán:

Cho $f(x)=g(x)$. Nếu $f(x)$ đồng biến trên tập xác định K và $g(x)$ nghịch biến trên K (hoặc ngược lại) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

a) ${{2}^{x}}=3-x$;     

Xét $f\left( x \right)={{2}^{x}}$

Ta có $f'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2>0$   

Suy ra f(x) đồng biến trên $\mathbb R$.

Xét $g\left( x \right)=3-x$

Ta có $g'\left( x \right)=-1<0$

Suy ra g(x) nghịch biến trên $\mathbb R$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Mà $f\left( 1 \right)=g\left( 1 \right)$

$\Rightarrow x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.                      

b) ${{\log }_{2}}x=3-x$.

Điều kiện: x > 0.

Xét $f\left( x \right)={{\log }_{2}}x$

Ta có $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{x.\ln 2}>0$   

Suy ra f(x) đồng biến trên $(0;+\infty)$.

Xét $g\left( x \right)=3-x$

Ta có $g'\left( x \right)=-1<0$

Suy ra g(x) nghịch biến trên $(0;+\infty)$.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Mà $f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)$

$\Rightarrow x=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình.