Giải bài 6, 7 trang 190 SGK giải tích nâng cao 12
6. Chứng minh rằng
a) Phần thực của số phức z bằng 12(z+¯z), phần ảo của số phức z bằng 12i(z−¯z).
b) Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z=−¯z;
c) Với mọi số phức z,z′ , ta có ¯z+z′=¯z+¯z′,¯zz′=¯z.¯z′, và nếu z≠0 thì ¯z′¯z=¯(z′z).
7. Chứng minh rẳng với mọi số nguyên m > 0, ta có
i4m=1;i4m+1=i;i4m+2=−1;i4m+3=−i.
6. Giả sử số phức z=a+bi⇒¯z=a−bi,
a) Ta có
12(z+¯z)=12(a+bi+a−bi)=a12i(z−¯z)=12i(a+bi−a+bi)=b
b) z=−¯z⇔a+bi=−a+bi
⇔{a=−ab=b⇒{a=0b∈R
Suy ra z là số thuần ảo.
c) Giả sử số phức z′=c+di⇒¯z′=c−di
Ta có
z+z′=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i
⇒¯z+z′=(a+c)−(b+d)i
¯z+¯z′=a−bi+c−di=(a+c)−(b+d)i
Suy ra ¯z+z′=¯z+¯z′.
zz′=(a+bi)(c+di)=(ac−db)+(ad+bc)i
⇒¯zz′=(ac−db)−(ad+bc)i
¯z.¯z′=(a−bi)(c−di)=(ac−db)−(ad+bc)i
Suy ra ¯zz′=¯z.¯z′.
¯z′¯z=c−dia−bi=(c−di)(a+bi)a2+b2=(ac+bd)+(bc−ad)ia2+b2
z′z=c+dia+bi=(c+di)(a−bi)a2+b2=(ac+bd)+(ad−bc)ia2+b2
⇒¯(z′z)=(ac+bd)+(bc−ad)ia2+b2
Suy ra ¯z′¯z=¯(z′z).
Vậy các đẳng thức được chứng minh.
7. Ta có:
i4m=[(i2)]2m=[(−1)2]m=1m=1i4m+1=i.i4m=i.1=ii4m+2=i.i4m+1=i.i=−1i4m+3=i.i4m+2=i.(−1)=−i