Giải bài 42 trang 209 SGK giải tích nâng cao 12

a) Biểu diễn các số phức $2+i$ và $3+i$ trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Ta có:

$\tan \left( Ox,OM \right)=\dfrac{1}{2}=\tan a \\ \tan \left( Ox,ON \right)=\dfrac{1}{3}=\tan b$

Do $a,b\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ và M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy 

Nên một acgument của $2+i$ là a và một acgumen của $3+i$ là b.

Mặt khác $\left( 2+i \right)\left( 3+i \right)=5+5i$ có một acgumen là $\dfrac{\pi }{4}$.

Mà acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức đó (sai khác $k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$).

Nên từ $a,b\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ suy ra $a+b=\dfrac{\pi }{4}$.

b) Biểu diễn các số phức $2+i,5+i$ và $8+i$ trên mặt phẳng tọa độ ta được:

Ta có:

$\tan \left( Ox,OM \right)=\dfrac{1}{2}=\tan a \\ \tan \left( Ox,ON \right)=\dfrac{1}{3}=\tan b \\\tan \left( Ox,OP \right)=\dfrac{1}{8}=\tan c$

Do $a,b, c\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ và M, N, P nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy 

Nên một acgument của $2+i$ là a, một acgumen của $5+i$ là b và một acgumen của $8+i$ là c.

Mặt khác $\left( 2+i \right)\left( 5+i \right)\left( 8+i \right)=65\left( 1+i \right)$ có một acgumen là $\dfrac{\pi }{4}$.

Mà acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức đó (sai khác $k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$).

Nên từ $a,b,c\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)$ suy ra $a+b+c=\dfrac{\pi }{4}$.

Ghi nhớ:

Nếu $z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ z'=r'\left( \cos \varphi '+i\sin \varphi ' \right)\,\left( r\ge 0,r'\ge 0 \right)$

thì $zz'=rr'\left[ \cos \left( \varphi +\varphi ' \right)+i\sin \left( \varphi +\varphi ' \right) \right] \\ \dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}\left[ \cos \left( \varphi -\varphi ' \right)+i\sin \left( \varphi -\varphi ' \right) \right]$