Giải bài 41 trang 209 SGK giải tích nâng cao 12

a) Ta có

$\begin{aligned} {{z}^{2}}&={{\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)}^{2}}+2i\left( \sqrt{6}+\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right) \\ & =8\sqrt{3}+8i \\ & =16\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}i \right) \\ & =16\left( \cos \dfrac{\pi }{6}+i\sin \dfrac{\pi }{6} \right) \\ \end{aligned}$

b) Ta có 

${{z}^{2}}={{\left( 4 \right)}^{2}}{{\left( \cos \dfrac{\pi }{12}+i\sin \dfrac{\pi }{12} \right)}^{2}}$

Suy ra $z$ là căn bậc hai của $z^2$ có dạng $z= 4\left( \cos \dfrac{\pi }{12}+i\sin \dfrac{\pi }{12} \right)$ và $z= -4\left( \cos \dfrac{\pi }{12}+i\sin \dfrac{\pi }{12} \right)= 4\left( \cos \dfrac{13\pi }{12}+i\sin \dfrac{13\pi }{12} \right)$.

Ghi nhớ:

Công thức Moa-vrơ

${{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)$