Giải bài 39 trang 209 SGK giải tích nâng cao 12

a) ${{\left( z+3-i \right)}^{2}}-6\left( z+3-i \right)+13=0$

Đặt $z+3-i=w$, phương trình trở thành:

${{{w}}^{2}}-6w+13=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {w}=3+2i \\ & w=3-2i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z+3-i=3+2i \\ & z+3-i=3-2i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=3i \\ & z=-i \\ \end{aligned} \right. \\ $

b) ${{\left( \dfrac{iz+3}{z-2i} \right)}^{2}}-3\dfrac{iz+3}{z-2i}-4=0$

Điều kiện $z\ne 2i$.

Đặt $\dfrac{iz+3}{z-2i}=w$, phương trình trở thành

${{w}^{2}}-3w-4=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & w=-1 \\ & w=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \dfrac{iz+3}{z-2i}=-1 \\ & \dfrac{iz+3}{z-2i}=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & iz+3=-z+2i \\ & iz+3=4z-8i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\dfrac{-3+2i}{1+i} \\ & z=\dfrac{3+8i}{4-i} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & z=\dfrac{-1+5i}{2} \\ & z=\dfrac{4+35i}{17} \\ \end{aligned} \right.$

c) ${{\left( {{z}^{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=0$

$\Leftrightarrow {{\left( {{z}^{2}}+1 \right)}^{2}}=-{{\left( z+3 \right)}^{2}}={{\left[ \left( z+3 \right)i \right]}^{2}} \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}+1=\left( z+3 \right)i \\ & {{z}^{2}}+1=-\left( z+3 \right)i \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & {{z}^{2}}-iz+1-3i=0\,\left( 1 \right) \\ & {{z}^{2}}+iz+1+3i=0\,\left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Từ (1) ta có

$\Delta ={{i}^{2}}-4\left( 1-3i \right)=-5+12i={{\left( 2+3i \right)}^{2}}$

Suy ra (1) có hai nghiệm là ${{z}_{1}}=1+2i,{{z}_{2}}=-1-i$

Từ (2) ta có

$\Delta ={{i}^{2}}-4\left( 1+3i \right)=-5-12i={{\left( 2-3i \right)}^{2}}$

Suy ra (2) có hai nghiệm là ${{z}_{3}}=1-2i,{{z}_{4}}=-1+i$.

Vậy phương trình có bốn nghiệm.