Giải bài 35 trang 207 SGK giải tích nâng cao 12

a) Ta có $\left| z \right|=3\Rightarrow r=3$.

$i=\cos \dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2}$

Gọi acgumen của $z$ là $\varphi$. Suy ra acgumen của $iz$ là $\dfrac{\pi }{2}+\varphi$.

Suy ra $\dfrac{\pi }{2}+\varphi =\dfrac{5\pi }{4}\Leftrightarrow \varphi =\dfrac{3\pi }{4}$

Vậy $z=3\left( \cos \dfrac{3\pi }{4}+i\sin \dfrac{3\pi }{4} \right)$.

Lại có $3\left( \cos \dfrac{3\pi }{4}+i\sin \dfrac{3\pi }{4} \right)={{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}{{\left( \cos \dfrac{3\pi }{8}+i\sin \dfrac{3\pi }{8} \right)}^{2}}$

Suy ra hai căn bậc hai của $z$ là $\sqrt{3}\left( \cos \dfrac{3\pi }{8}+i\sin \dfrac{3\pi }{8} \right)$ và $- \sqrt{3}\left( \cos \dfrac{3\pi }{8}+i\sin \dfrac{3\pi }{8} \right)= \sqrt{3}\left( \cos \dfrac{11\pi }{8}+i\sin \dfrac{11\pi }{8} \right)$.

b) Ta có $\left| z \right|=\dfrac{1}{3}\Rightarrow r=\dfrac{1}{3}$.

$1+i=\sqrt{2}\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)=\sqrt{2}\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right)$

Gọi acgumen của $z$ là $\varphi$. Suy ra acgumen của $\overline{z}$ là $-\varphi$.

Suy ra acgumen của $\dfrac{\overline{z}}{1+i}$ là $-\varphi -\dfrac{\pi }{4}$

Suy ra $-\varphi -\dfrac{\pi }{4}=-\dfrac{3\pi }{4}\Leftrightarrow \varphi =\dfrac{\pi }{2}$

Vậy $z=\dfrac{1}{3}\left( \cos \dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2} \right)$.

Lại có $\dfrac{1}{3}\left( \cos \dfrac{\pi }{2}+i\sin \dfrac{\pi }{2} \right)={{\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}{{\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right)}^{2}}$

Suy ra hai căn bậc hai của $z$ là $\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right)$ và $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( \cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \right) =\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left( \cos \dfrac{5\pi }{4}+i\sin \dfrac{5\pi }{4} \right)$.

Ghi nhớ:

$-$ Số phức $z=a+bi$ có dạng lượng giác $z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)$, trong đó $\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right.$

$-$ Công thức Moa-vrơ

${{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)$

$-$ Số phức $z=r(\cos\varphi +i\sin\varphi),r>0$ có hai căn bậc hai là:

$\sqrt r\left(\cos\dfrac{\varphi}{2}+i\sin\dfrac{\varphi}{2}\right)$ và $-\sqrt r\left(\cos\dfrac{\varphi}{2}+i\sin\dfrac{\varphi}{2}\right)=\sqrt r \left[\cos\left(\dfrac{\varphi}{2}+\pi\right)+i\sin\left(\dfrac{\varphi}{2}+\pi\right)\right]$