Giải bài 34 trang 207 SGK giải tích nâng cao 12

Ta có

${w}=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{4\pi }{3}+i\sin \dfrac{4\pi }{3}$

$\begin{align}\Rightarrow {{{w}}^{n}}&={{\left( \cos \dfrac{4\pi }{3}+i\sin \dfrac{4\pi }{3} \right)}^{n}} \\ & =\cos \dfrac{4n\pi }{3}+i\sin \dfrac{4n\pi }{3} \end{align}$

Để $w^n$ là số thực $\Leftrightarrow\sin \dfrac{4n\pi }{3}=0\Leftrightarrow \dfrac{4n\pi }{3}=k\pi \Leftrightarrow 4n=3k$

Vậy n là tập hợp các số nguyên dương chia hết cho 3.

Ta có

${w}^{m}=\cos \dfrac{4m\pi }{3}+i\sin \dfrac{4m\pi }{3}$

Để $w^m$ là số ảo $\Leftrightarrow\cos \dfrac{4m\pi }{3}=0\Leftrightarrow \dfrac{4m\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow 8m=6k+3$.

Do vế trái là một số chẵn nhưng vế phải là một số lẻ

Nên không tồn tại số m để ${{{w}}^{m}}$ là số ảo.

Ghi nhớ:

Số phức $z=a+bi$ có dạng lượng giác $z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)$, trong đó $\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right.$

Công thức Moa-vrơ

${{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)$