Giải bài 31 trang 206 SGK giải tích nâng cao 12

a) Ta có:

${w}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+i\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4} \\ \varepsilon =-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos \dfrac{2\pi }{3}+i\sin \dfrac{2\pi }{3} \\ \begin{aligned} {{\varepsilon }^{3}}&={{\left( \cos \dfrac{2\pi }{3}+i\sin \dfrac{2\pi }{3} \right)}^{3}} \\ & =\cos 2\pi +i\sin 2\pi =1 \\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} z_{0}^{3}&={{\left( \cos \dfrac{\pi }{12}+i\sin \dfrac{\pi }{12} \right)}^{3}} \\ & =\cos \dfrac{\pi }{4}+i\sin \dfrac{\pi }{4}={w} \\ \end{aligned}$

$\Rightarrow z_{0}^{3}-\text{w}=0$ hay $z_0$ là một nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}-{w}=0$.

$z_{1}^{3}={{\left( {{z}_{0}}\varepsilon \right)}^{3}}=z_{0}^{3}.{{\varepsilon }^{3}}={w}.1={w}$

$\Rightarrow z_{1}^{3}-{w}=0$ hay $z_1$ là một nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}-{w}=0$.

$z_{2}^{3}={{\left( {{z}_{0}}{{\varepsilon }^{2}} \right)}^{3}}=z_{0}^{3}.{{\varepsilon }^{6}}={w}{{.1}^{2}}={w}$

$\Rightarrow z_{2}^{3}-{w}=0$ hay $z_2$ là một nghiệm của phương trình ${{z}^{3}}-{w}=0$.

b) Ta có:

$\begin{aligned} {{z}_{1}}={{z}_{0}}\varepsilon& =\cos \left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right)+i\sin \left( \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right) \\ & =\cos \dfrac{3\pi }{4}+i\sin \dfrac{3\pi }{4} \\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} {{\varepsilon }^{2}} &={{\left( \cos \dfrac{2\pi }{3}+i\sin \dfrac{2\pi }{3} \right)}^{2}} \\ & =\cos \dfrac{4\pi }{3}+i\sin \dfrac{4\pi }{3} \\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} {{z}_{2}}={{z}_{0}}{{\varepsilon }^{2}}&=\cos \left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right)+i\sin \left( \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{\pi }{12} \right) \\ & =\cos \left( \dfrac{17\pi }{12} \right)+i\sin \left( \dfrac{17\pi }{12} \right) \\ \end{aligned}$

Biểu diễn các số phức ${{z}_{0}},{{z}_{1}},{{z}_{2}}$ trên đường tròn lượng giác ta được

Ghi nhớ

Số phức $z=a+bi$ có dạng lượng giác $z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)$, trong đó $\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right.$

Nếu $z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ z'=r'\left( \cos \varphi '+i\sin \varphi ' \right)\,\left( r\ge 0,r'\ge 0 \right)$

thì $zz'=rr'\left[ \cos \left( \varphi +\varphi ' \right)+i\sin \left( \varphi +\varphi ' \right) \right]$

Công thức Moa-vrơ

${{\left[ r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \right]}^{n}}={{r}^{n}}\left( \cos n\varphi +i\sin n\varphi \right)$