Giải bài 30 trang 206 SGK giải tích nâng cao 12

a) Ta có:

$\begin{aligned} \dfrac{z'}{z}&=\dfrac{\left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i}{3+i} \\ & =\dfrac{\left[ \left( 3-\sqrt{3} \right)+\left( 1+3\sqrt{3} \right)i \right]\left( 3-i \right)}{10} \\ & =\dfrac{9-3\sqrt{3}+1+3\sqrt{3}+i\left( 3+9\sqrt{3}-3+\sqrt{3} \right)}{10} \\ & =1+i\sqrt{3} \\ \end{aligned}$

b)

Ta có:

$\begin{aligned} \text{sđ}\left( OM,OM' \right)& =\text{sđ}\left( Ox,OM' \right)-\text{sđ}\left( Ox,OM \right) \\ & =\varphi '-\varphi \\ & = \text{acgumen của} \dfrac{z'}{z} \,(\text{sai khác } k2\pi)\\ \end{aligned}$

Trong đó $\varphi$ là acgumen của $z$, $\varphi'$ là acgumen của $z'$.

Mà $\dfrac{z'}{z}=1+i\sqrt{3}=2\left(\cos\dfrac{\pi }{3}+i\sin\dfrac{\pi }{3}\right)$ có acgumen là $\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$

Suy ra góc lượng giác của $\left( OM,OM' \right)$ có số đo $\dfrac{\pi }{3}+k2\pi \,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$.

Ghi nhớ:

Số phức $z=a+bi$ có dạng lượng giác $z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)$, trong đó $\left\{ \begin{align} & r=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \\ & \cos \varphi =\dfrac{a}{r},\sin \varphi =\dfrac{b}{r} \\ \end{align} \right.$